De ce contează?
Imaginează-ți un contabil care numără mulțimi suprapunând cercuri. De fiecare
dată când numără un grup, riscă să socotească același element de două ori, așa că
pune lângă fiecare grup un semn: „adună acesta", „scade pe acela", „lasă-l pe
celălalt". Funcția Möbius este exact acest carnet de semne, dar pentru numere:
ea pune un +1, un -1 sau un 0 pe fiecare număr, ca să corecteze automat
suprasocotelile când numeri ceva după divizori.
Ce este
Foarte des în teoria numerelor vrei să numeri lucruri „coprime cu n" sau să
inversezi o sumă agregată peste divizori. Ambele duc la principiul includerii
și excluderii — l-ai văzut în lecția despre includere-excludere din acest
capitol. Funcția Möbius mu(n) împachetează semnele +/- din acea formulă
într-o singură valoare per număr, definită pe trei cazuri:
| Cazul | Valoarea | Exemplu |
|---|---|---|
n = 1 | mu(1) = 1 | produs „gol" de 0 primi, (-1)^0 = 1 |
n are un factor prim la pătrat (p^2 divide n) | mu(n) = 0 | mu(12) = 0, căci 12 = 2^2 * 3 |
n e produs de k primi distincți | mu(n) = (-1)^k | mu(30) = (-1)^3 = -1, căci 30 = 2 * 3 * 5 |
Adică mu e exact „semnul" din includere-excludere pe factori primi: + pentru
un număr par de primi, - pentru impar, 0 pentru combinațiile cu un prim
repetat — cele care nu apar niciodată în formulă.
Proprietatea centrală: dacă aduni mu(d) peste toți divizorii d ai lui
n, obții 1 doar pentru n = 1 și 0 pentru orice n mai mare. Suma e un
„detector de 1": semnele se anulează reciproc exact ca într-o
includere-excludere completă, iar ceva supraviețuiește doar când nu există
niciun factor prim de anulat. Pe această anulare se sprijină toate aplicațiile
lui mu.