Reprezentarea numerelor în baze diferite

De ce contează?

45 de lei rămân 45 de lei, fie că-i ai într-o bancnotă de 45 (dacă ar exista), fie în 45 de monede de 1 leu, fie în câteva monede mari și câteva mici. Suma nu se schimbă — doar felul în care o „scrii" cu monedele pe care le ai. Reprezentarea unui număr în baze diferite e exact asta: aceeași valoare, alte simboluri.

Aceeași valoare, scrieri diferite

Un număr are o singură valoare, dar nenumărate reprezentări, câte una pentru fiecare bază. Iată valoarea 45 scrisă în trei baze:

Bază	Reprezentarea lui 45
10 (zecimal)	45
2 (binar)	101101
16 (hexazecimal)	2D

cifra	2	D
valoare loc	16	1

2D în baza 16 = 2·16 + 13 = 45. Cifra D reprezintă valoarea 13.

Observă cum baza mai mare folosește mai puține cifre: 45 cere 6 cifre binare, dar doar 2 cifre hexazecimale. Cu cât baza e mai mare, cu atât fiecare poziție „duce" mai multă valoare.

Câte cifre are un număr într-o bază

Numărul de cifre necesare pentru valoarea n în baza b este ⌊log_b n⌋ + 1. Intuitiv: fiecare cifră nouă permite valori de b ori mai mari, deci numărul de cifre crește logaritmic, nu liniar.

Observația-cheie

Legătura specială dintre baza 2 și baza 16: o cifră hexazecimală = exact 4 biți (pentru că 16 = 2⁴). De aceea programatorii scriu valori pe biți în hexazecimal — e mult mai scurt și se traduce direct în binar, grup cu grup.

Implementare C++ — scrierea într-o bază oarecare

Funcția de mai jos scrie un număr în orice bază până la 16, folosind cifre 0–9 și litere A–F:

#include <iostream>
using namespace std;

void scrieInBaza(int n, int b) {
    if (n == 0) {           // tratam separat cazul zero
        cout << 0;
        return;
    }
    char cifre[40];
    int k = 0;
    while (n > 0) {
        int r = n % b;
        // cifrele 0-9 raman cifre, 10-15 devin litere A-F
        cifre[k++] = (r < 10) ? ('0' + r) : ('A' + r - 10);
        n /= b;
    }
    for (int i = k - 1; i >= 0; i--) cout << cifre[i];  // ordine inversa
}

int main() {
    scrieInBaza(45, 2);  cout << "\n";  // 101101
    scrieInBaza(45, 16); cout << "\n";  // 2D
    return 0;
}

Trucul (r < 10) ? ('0' + r) : ('A' + r - 10) folosește aritmetica pe caractere: pentru rest 13 obții 'A' + 3 = 'D'.

Reprezentarea cu lățime fixă

Uneori vrei un număr fix de cifre, completând cu zerouri la stânga — de exemplu un octet scris pe 8 biți: 13 devine 00001101. Zerourile din față nu schimbă valoarea, doar aliniază reprezentarea.

Complexitate

Scrierea unei valori n în baza b costă O(log_b n) — adică numărul de cifre produse. Conversia e proporțională cu câte cifre are rezultatul, nu cu mărimea numărului în sine.

Greșeli frecvente

Greșeala 1 — crezi că valoarea s-a schimbat: 101101 și 45 și 2D sunt același număr. Doar reprezentarea diferă; nu compara reprezentări din baze diferite ca șiruri.

Greșeala 2 — afișezi resturile ≥ 10 ca numere: în baza 16, un rest de 13 trebuie scris D, nu 13. Altfel reprezentarea devine ambiguă.

Greșeala 3 — uiți zerourile la lățime fixă: dacă o problemă cere exact 8 biți, 1101 e greșit — corect e 00001101. Zerourile din față contează la afișare, deși nu la valoare.

Greșeala 4 — confunzi numărul de cifre cu valoarea: un număr mare în baza 2 are multe cifre, dar asta nu-l face „mai mare" decât reprezentarea lui scurtă din baza 16. Compari valori, nu lungimi de scriere.

Recapitulare

Un număr are o singură valoare, dar o reprezentare diferită în fiecare bază; bazele mari folosesc mai puține cifre.
O cifră hexazecimală corespunde exact la 4 biți (16 = 2⁴), motiv pentru care hexazecimalul e folosit ca scurtătură pentru binar.
Scrierea într-o bază costă O(log_b n); atenție la literele A–F pentru cifre ≥ 10 și la zerourile din față când se cere o lățime fixă.