Bordarea unei matrice — chenarul de pe margine

De ce contează?

Pui o ramă în jurul unei fotografii. Rama atinge doar marginea, nu mijlocul. La matrice, „bordura” e exact acest chenar: prima și ultima linie, prima și ultima coloană. Iar uneori adaugi tu o ramă suplimentară ca să-ți fie mai ușor de lucrat.

Ce este bordura

Bordura (chenarul) unei matrice sunt elementele de pe margine: prima linie, ultima linie, prima coloană, ultima coloană.

Un element a[i][j] e pe bordură dacă:

i == 0 sau i == n-1 sau j == 0 sau j == m-1.

Observația-cheie

Elementele care nu sunt pe bordură formează „interiorul”: 1 ≤ i ≤ n-2 și 1 ≤ j ≤ m-2. Distincția margine/interior apare des în probleme cu matrice.

Exemplu: marchează bordura

Matricea 4×4, bordura marcată cu 1, interiorul cu 0:

Bordura = chenarul exterior; interiorul rămâne 0

Implementare C++

#include <iostream>
using namespace std;

int a[100][100];

int main() {
    int n, m;
    cin >> n >> m;

    int sumaBordura = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++)
        for (int j = 0; j < m; j++) {
            cin >> a[i][j];
            if (i == 0 || i == n - 1 || j == 0 || j == m - 1)
                sumaBordura += a[i][j]; // element pe margine
        }

    cout << "Suma bordurii = " << sumaBordura << "\n";
    return 0;
}

O singură condiție cu patru cazuri, legate prin sau, recunoaște orice element de pe margine.

A doua idee: bordare cu un chenar de gardă

Uneori adaugi tu o ramă de zerouri în jurul matricei. De ce? Ca să poți citi vecinii oricărui element interior fără verificări de margine. Lucrezi cu matricea reală pe pozițiile 1..n și 1..m, iar linia/coloana 0 și n+1/m+1 rămân 0 ca „gardă”.

// matricea reala stocata de la (1,1); marginea 0 ramane garda
for (int i = 1; i <= n; i++)
    for (int j = 1; j <= m; j++)
        cin >> a[i][j];
// acum a[i-1][j], a[i+1][j], a[i][j-1], a[i][j+1] exista mereu (sunt 0 la margine)

Complexitate

Operație	Timp	Spațiu
Parcurgerea bordurii	O(n·m) la citire, O(n+m) doar marginea	O(1)

Numărul de elemente de pe bordură e 2n + 2m - 4 (cele 4 colțuri nu se numără de două ori).

Vizualizare

Urmărește cum chenarul de pe margine se distinge de interiorul matricei:

Greșeli frecvente

Greșeli frecvente de concurs:

Numeri colțurile de două ori. Un colț e și pe linie, și pe coloană de margine. Condiția cu sau îl tratează o singură dată — dar dacă aduni separat „liniile” și „coloanele”, le dublezi.
Confunzi n-1 cu n. Ultima linie e n-1, ultima coloană m-1 (numerotare de la 0). i == n iese din matrice.
Garda dimensionată greșit. Dacă bordezi cu un chenar de zerouri, matricea trebuie declarată cu cel puțin n+2 × m+2 și datele citite de la (1,1).
Interior gol. La n < 3 sau m < 3 nu există interior — toată matricea e bordură. Tratează cazul dacă problema cere strict interiorul.

Recapitulare

Bordura = elementele cu i ∈ {0, n-1} sau j ∈ {0, m-1}; interiorul e restul.
Recunoști un element de margine cu o singură condiție sau; colțurile nu se dublează.
Un chenar de gardă (zerouri în jur) lasă vecinii să fie accesați fără verificări de margine.