Distanța dintre două puncte — Pitagora în plan

Formula distanței

Două puncte din plan, A(x1, y1) și B(x2, y2), formează împreună cu colțul unui dreptunghi un triunghi dreptunghic. Cele două catete sunt:

• diferența pe orizontală: dx = x2 - x1;
• diferența pe verticală: dy = y2 - y1.

Segmentul AB este ipotenuza acelui triunghi. Din teorema lui Pitagora, ipotenuza la pătrat este suma pătratelor catetelor, deci:

d = sqrt(dx^2 + dy^2) = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)

Semnul lui dx sau dy nu contează: la pătrat, (-3)^2 și 3^2 dau amândouă 9. De aceea nu te interesează „în ce sens” mergi de la A la B.

Exemplu pas cu pas

Fie A(1, 2) și B(4, 6). Calculăm pe rând:

• dx = x2 - x1 = 4 - 1 = 3
• dy = y2 - y1 = 6 - 2 = 4
• dx^2 + dy^2 = 9 + 16 = 25
• d = sqrt(25) = 5

Distanța este exact 5. Catetele 3 și 4 cu ipotenuza 5 formează cel mai cunoscut triunghi dreptunghic cu laturi întregi.

Distanța la pătrat: de ce o folosești la comparații

Funcția sqrt întoarce un double — un număr cu virgulă care poate avea mici erori de rotunjire. Dacă întrebi doar care punct e mai aproape sau sunt egal depărtate?, nu ai nevoie de valoarea reală a distanței: îți ajunge să compari distanțele la pătrat.

Ideea cheie: dacă da și db sunt distanțe (numere pozitive), atunci

da < db este același lucru cu da^2 < db^2.

Funcția pătrat păstrează ordinea pe numere pozitive, așa că o comparație pe pătrate dă mereu același răspuns ca pe rădăcini — dar exact, pe întregi, fără float și fără rotunjire. Folosește sqrt doar la final, când chiar ai nevoie de valoarea reală a distanței (de afișat, nu de comparat).

Implementare C++

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

// distanta reala (cu virgula): foloseste sqrt
double distanta(long long x1, long long y1, long long x2, long long y2) {
    long long dx = x2 - x1;
    long long dy = y2 - y1;
    return sqrt((double)(dx * dx + dy * dy));   // cast la double inainte de sqrt
}

// distanta la patrat (intreg exact): pentru comparatii si sortari
long long distantaPatrat(long long x1, long long y1, long long x2, long long y2) {
    long long dx = x2 - x1;
    long long dy = y2 - y1;
    return dx * dx + dy * dy;        // fara sqrt, ramane intreg
}

int main() {
    long long ax = 1, ay = 2;
    long long bx = 4, by = 6;

    cout << distanta(ax, ay, bx, by) << "\n";       // 5
    cout << distantaPatrat(ax, ay, bx, by) << "\n"; // 25

    return 0;
}

Observă că dx și dy sunt long long chiar înainte de înmulțire: așa produsul dx * dx se calculează tot pe long long și nu „se taie” la int.

Vizualizare

Trage de cele două puncte și urmărește cum se schimbă catetele dx, dy și ipotenuza care le leagă — vizualizatorul desenează triunghiul dreptunghic din spatele formulei.

Recapitulare

• Distanța euclidiană este sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) — Pitagora pe catetele dx și dy.
• Pentru comparații și sortări folosește distanța la pătrat (întreg exact), nu sqrt, ca să eviți erorile de rotunjire la float.
• Ține diferențele și pătratul pe long long, altfel (x2 - x1)^2 poate da overflow.