Distanța de la punct la dreaptă — cea mai scurtă cale

Formula

O dreaptă se scrie sub forma generală a·x + b·y + c = 0, unde a, b, c sunt numere fixe. Pentru un punct P(x0, y0), distanța de la P la dreaptă este:

d = |a·x0 + b·y0 + c| / sqrt(a^2 + b^2)

De unde vine? Perechea (a, b) este vectorul normal la dreaptă — un vector perpendicular pe ea. Expresia a·x0 + b·y0 + c proiectează poziția punctului pe direcția acestui normal: cât de „departe” e punctul față de dreaptă, măsurat pe perpendiculară. Dar rezultatul e scalat cu lungimea normalului, care e sqrt(a^2 + b^2). Împărțind la ea, normalizezi și obții distanța reală.

Modulul |...| apare fiindcă distanța nu poate fi negativă: nu ne interesează pe ce parte a dreptei stă punctul, ci doar cât de aproape e.

Legătura cu aria și produsul vectorial

Există o a doua cale, mai geometrică. Dacă dreapta trece prin punctele A și B, iar P e punctul nostru, atunci A, B, P formează un triunghi. Aria lui se poate calcula cu produsul vectorial:

2·arie = |(B - A) × (P - A)|

Pe de altă parte, aria oricărui triunghi este (bază · înălțime) / 2. Dacă luăm ca bază segmentul AB, atunci înălțimea coborâtă din P este exact distanța de la P la dreapta AB. Deci:

d = 2·arie / bază = |(B - A) × (P - A)| / |AB|

Aceasta este aceeași formulă: produsul vectorial joacă rolul numărătorului (e legat de a·x0 + b·y0 + c), iar lungimea bazei |AB| joacă rolul lui sqrt(a^2 + b^2). Două drumuri, același rezultat.

Exemplu pas cu pas

Fie dreapta care trece prin A(0, 0) și B(4, 2), și punctul P(1, 3).

Întâi scriem dreapta sub forma generală. Coeficienții se obțin din cele două puncte: a = yB - yA, b = xA - xB, c = -(a·xA + b·yA).

• a = 2 - 0 = 2
• b = 0 - 4 = -4
• c = -(2·0 + (-4)·0) = 0

Deci dreapta este 2x - 4y = 0. Verificăm că A și B o satisfac: pentru B(4, 2) avem 2·4 - 4·2 = 8 - 8 = 0. Corect.

Acum aplicăm formula pentru P(1, 3):

• numărător: |2·1 + (-4)·3 + 0| = |2 - 12| = |-10| = 10
• numitor: sqrt(2^2 + (-4)^2) = sqrt(4 + 16) = sqrt(20)
• d = 10 / sqrt(20) ≈ 2.236

Observă semnul înainte de modul: 2 - 12 = -10 e negativ, deci P se află pe o anumită parte a dreptei. Modulul îl face pozitiv pentru distanță.

Implementare C++

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

int main() {
    // dreapta prin doua puncte A si B
    long long xA = 0, yA = 0;
    long long xB = 4, yB = 2;

    // punctul P fata de care masuram
    long long x0 = 1, y0 = 3;

    // forma generala a*x + b*y + c = 0 din A si B
    long long a = yB - yA;          // 2
    long long b = xA - xB;          // -4
    long long c = -(a * xA + b * yA); // 0

    // numaratorul pe long long, ca sa nu pierdem precizie / overflow
    long long numarator = a * x0 + b * y0 + c; // -10 (cu semn)

    // numitorul si distanta finala in double, doar la sfarsit
    double numitor = sqrt((double)(a * a + b * b)); // sqrt(20)
    double d = llabs(numarator) / numitor;          // |-10| / sqrt(20)

    cout << "a=" << a << " b=" << b << " c=" << c << "\n"; // a=2 b=-4 c=0
    cout << "numarator (cu semn) = " << numarator << "\n"; // -10
    cout << "distanta = " << d << "\n";                    // ~2.236068

    return 0;
}

Vizual, distanța e segmentul perpendicular dintre P și dreaptă:

Recapitulare

• Distanța de la P(x0, y0) la a·x + b·y + c = 0 este |a·x0 + b·y0 + c| / sqrt(a^2 + b^2): proiecție pe normal, apoi normalizare.
• Geometric e același lucru cu d = 2·arie / bază, unde aria vine din produsul vectorial al laturilor triunghiului.
• Ține numărătorul pe long long, pune modulul și împarte la lungimea normalului; folosește sqrt (double) doar la final.