De ce contează?
Întinzi o ață perfect dreaptă între două cuie bătute în perete. Ața nu trece doar prin cele două cuie — ea decide totul: orice alt cui din perete e ori exact pe ață, ori deasupra ei, ori dedesubt. „Ecuația dreptei" e tocmai regula scrisă a acelei ațe: o formulă care, pentru orice punct, îți spune instant dacă e pe dreaptă și de care parte.
Ce este
O dreaptă în plan poate fi descrisă în mai multe feluri. Două sunt importante.
Forma explicită y = mx + n: o cunoști de la panta dreptei — m e panta, n e ordonata la origine. E intuitivă, dar are un defect grav: pentru o dreaptă verticală (de exemplu x = 3) panta m ar fi infinită, deci forma asta pur și simplu nu o poate descrie.
Forma generală ax + by + c = 0: aici dreapta e mulțimea tuturor punctelor (x, y) care satisfac egalitatea, pentru niște coeficienți fixați a, b, c. Avantajul ei e că prinde orice dreaptă, inclusiv verticalele: pentru x = 3 luăm a = 1, b = 0, c = -3, adică 1·x + 0·y - 3 = 0. Niciun caz special.
Cum obții coeficienții dintr-o dreaptă dată prin două puncte distincte A(x1, y1) și B(x2, y2)? Formulele sunt:
a = y1 - y2b = x2 - x1c = -(a·x1 + b·y1)
Primele două vin din direcția dreptei, iar c e ales astfel încât punctul A să verifice ecuația — și, cum vom vedea, B o verifică automat.
Dacă punctele au coordonate întregi, formulele a = y1 - y2, b = x2 - x1, c = -(a·x1 + b·y1) produc coeficienți întregi. Atunci verificarea a·x + b·y + c == 0 e o comparație exactă, fără virgulă mobilă. Forma y = mx + n te-ar fi împins la împărțiri și la comparații aproximative de tip „aproape egal" — sursă clasică de bug în geometria computațională.